TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR

A.    PENGANTAR TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor danF adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawahF. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalahR².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektorW, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnyaF:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

            

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di Vdan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x ntetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya  adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T : 2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks

Jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka  adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut. Untuk melihat ini, maka misalkan  adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan

Adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut  pada gambar di bawah. Kita akan memperlihatkan . Jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka

                 

Demikian juga, karena  mempunyai panjang yang sama seperti v, maka kita peroleh

                     

Sehingga

Transformasi linear pada contoh ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan Vdan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V à W sehingga T(v) = 0 untuk setiap v di V adalah sebuah transformasi linear yang kita namakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa Tlinear, perhatikan bahwa

Maka

Contoh 4

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan V = R³ mempunyai hasil jail dalam euclidis. Vektor-vektor w₁ = (1, 0, 0) dan w₂ = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. jadi, jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor di R³, maka proyeksi orthogonal dari R³ pada bidang xy di berikan oleh

(x, y, z)

(x, y, z)

T(v)

x

y

v

Contoh 5

Misalkan V adalah sebuah ruang hasil kali dalam dan misalkan v₀ adalah sebarang vektor tetap di V. misalkan T : V  R adalah transformasi yang memetakan vektor v ke dalam hasil kali dalamnya dengan V₀ ; yakni

Dari sifat-sifat hasil kali dalam maka

Contoh 6

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari bagian 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V dapat dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di Vdimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.