SPL dengan cara OBE

Solusi SPL dengan Menggunkan OBE 

Sistem persamaan linier adalah salah satu persoalan bidang matematika yang banyak digunakan. Salah satu penyelesaian persamaan linier ini dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang artinya membuat persamaan - persamaan awal pada sistem persamaan menjadi matriks lalu merubahnya menjadi matriks tereduksi. Terkadang dengan menggunakan cara penyelesaian OBE ini sangatlah panjang dan tidak efisien. Oleh karena itu, menyelesaikan persoalan masalah ini secara cepat, efektif dan efisien sangat dibutuhkan. Ada banyak macam cara dalam menyelesaikan masalah ini, yaitu dengan :

• Aturan Cramer
• Metode Invers Matriks
• Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss Jordan

mengunakan cara obe

Nilai dan vektor eigen

Perhatikan gambar di bawah ini:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:

1.Penyelesaian:

2.Penyelesaian:

1. 
   

Program Linier

Pengertian Program Linear

Program linear yaitu pemecahan masalah untuk menentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi linear yang dibatasi oleh grafik linear dengan memperhatikan syarat-syarat yang berlaku. Penggunaan program linear pada kehidupan sehari-hari misalkan memaksimalkan keuntungan suatu perusahaan. Contoh lainnya yaitu meminimalkan pengeluaran suatu perusahaan.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear yang variabelnya saling berkaitan. Adapun bentuk umum dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu ax + by < c untuk tanda dapat berupa <, >, ≤, ≥. Biasanya variabel yang digunakan dalam pertidaksamaan yaitu x dan y.

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Dalam menyelesaikan pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel maka dapat diselesaikan dengan cara menentukan daerah penyelesainnya. Daerah penyelesaian yang akan digambar merupakan daerah himpunan yang merupakan titik (x, y) yang merupakan anggota himpunan penyelesaiannya. Untuk lebih jelasnya langsung dengan contoh soal, simak penjelasannya dibawah ini.

Contoh :

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut

x + 2y ≤ 10
x ≥ 0,
y ≥ 0

Jawab :

Langkah pertama buat persamaan x + 2y = 10

Buatlah dengan dua titik bantu

Misalkan x = 0, untuk x + 2y =10 maka 2y = 10 dan y = 5

Misalkan y = 0 , untuk x + 2y = 10 maka x = 10

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

x + 2y ≤ 10 , maka 0 + 2(0) ≤ 10

Maka berdasarkan pengujian diatas, daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pada sistem pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear variabel diatas digambarkan seperti gambar disamping.

Nilai Optimum

Untuk menentukan nilai optimum maka kita harus menentukan terlebih dahulu daerah penyelesaian pertidaksamaan linear, dengan begitu untuk mencari nilai optimum dapat menjadi lebih mudah. Langkah-langkah yang harus dikerjakan ketika menentukan nilai optimum diantaranya sebagai berikut :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear
2. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan yang ditanyakan
3. Tentukan titik-titik pojok daru daerah penyelesaian yang telah ditemukan
4. Setelah mengerjakan ketiga langkah itu, tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian tersebut lalu bandingkan hasil subtitusi titik-titik pojok dengan fungsi yang ditentukan dengan model matika

Perhatikan contoh soal cerita dibawah ini untuk lebih mempermudah

Contoh :

Toko bahagia menjual peralatan alat tulis, harga sebuah buku Rp.5.000 dan sebuah puplen Rp.2.500. Pemilik toko tersebut mempunyai modal 250.000 dan toko tersebut hanya mampu menampung hingga 50 buah. Tentukan model matematika untuk mendapatkan keuntungan jika laba dari 1 buah buku 1.000 dan dari pulpen 500?

Jawab :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear tersebut

Misalkan buku = x dan pulpen = y, maka

Fungsi Kendala

5000x + 2500y  ≤ 250000

2x + y  ≤ 100

x + y  ≤ 50

Fungsi Objektif

1000x + 500y

2. Tentukan daerah penyelesaian

Untuk menentukan daerah penyelesaian dapat ditentukan sama seperti pembahasan diatas

Ubah menjadi bentuk persamaan 2x + y = 100 ; x + y = 50

Buatlah dengan dua titik bantu

2x + y = 100

Misalkan x = 0, untuk 2x + y = 100 maka y = 100

Misalkan y = 0 , untuk 2x + y = 100 maka 2x = 100 dan x = 50

maka (x, y) yaitu (0, 100) (50, 0)

x + y = 50

maka (x, y) yaitu (0, 50) (50, 0)

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

3. Tentukan titik-titik pojok

Titik D dapat dicari dengan mengeliminasi dari persamaan 2x + y = 100 dan x + y = 50

2x + y = 100

x + y = 50

Maka (2x + y = 100) – (x + y) =50

ditemukan

x = 50

y = 0

D ( 50, 0)

4. Tentukan nilai optimum

Untuk menentukan nilai optimum, maka masukkan titik pokok A, B, C, D lalu substitusikan

Titik A (0, 0 ) = 1000x + 500y maka 1000(0) + 500(0) = 0

Titik B(150, 0) = 1000x + 500y maka 1000(150) + 500(0) = 150000

Titik C (0, 50) = 1000x + 500y maka 1000(0) + 500(50) = 25000

Titik D (50, 0) = 1000x + 500y maka 1000(50) + 500(0) = 50000

Maka ditemukan nilai optimum untuk soal diatas yaitu pada titik B (150, 0 ) dengan keuntungan Rp.150.000.

Untuk memperoleh keuntungan yang maksimal maka harus menjual 150 buku dan 0 pulpen.

Sekian pembahasan mengenai pertidaksamaan linear ini. Semoga dengan adanya soal dan pembahasan akan membuat kamu menjadi semakin mengerti. Semangat dan sukses selalu. (Baca juga : Relasi dan Fungsi )