TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR

A.    PENGANTAR TRANSFORMASI LINEAR

Dalam bagian ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w adalah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini mempunyai banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan berbagai cabang matematika.

Jika V dan W adalah ruang vektor danF adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, jika Fmengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w adalah bayangan dari v di bawahF. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, jika v = (x,y) adalah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya jika v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F adalah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F adalahR².

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektorW, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnyaF:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

            

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di Vdan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x ntetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalnya  adalah sebuah sudut tetap, dan misalnya T : 2ⁿàR² adalah perkalian oleh matriks

Jika v adalah vektor

Maka

Secara geometris, maka  adalah vektor yang dihasilkan jika v dirotasikann melalui sudut. Untuk melihat ini, maka misalkan  adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan

Adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut  pada gambar di bawah. Kita akan memperlihatkan . Jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka

                 

Demikian juga, karena  mempunyai panjang yang sama seperti v, maka kita peroleh

                     

Sehingga

Transformasi linear pada contoh ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan Vdan W adalah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V à W sehingga T(v) = 0 untuk setiap v di V adalah sebuah transformasi linear yang kita namakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa Tlinear, perhatikan bahwa

Maka

Contoh 4

Sebagai kasus khusus dari contoh sebelumnya, misalkan V = R³ mempunyai hasil jail dalam euclidis. Vektor-vektor w₁ = (1, 0, 0) dan w₂ = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. jadi, jika v = (x, y, z) adalah sebarang vektor di R³, maka proyeksi orthogonal dari R³ pada bidang xy di berikan oleh

(x, y, z)

(x, y, z)

T(v)

x

y

v

Contoh 5

Misalkan V adalah sebuah ruang hasil kali dalam dan misalkan v₀ adalah sebarang vektor tetap di V. misalkan T : V  R adalah transformasi yang memetakan vektor v ke dalam hasil kali dalamnya dengan V₀ ; yakni

Dari sifat-sifat hasil kali dalam maka

Contoh 6

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) adalah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari bagian 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V dapat dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di Vdimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T adalah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.

SPL dengan cara OBE

Solusi SPL dengan Menggunkan OBE 

Sistem persamaan linier adalah salah satu persoalan bidang matematika yang banyak digunakan. Salah satu penyelesaian persamaan linier ini dengan menggunakan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang artinya membuat persamaan - persamaan awal pada sistem persamaan menjadi matriks lalu merubahnya menjadi matriks tereduksi. Terkadang dengan menggunakan cara penyelesaian OBE ini sangatlah panjang dan tidak efisien. Oleh karena itu, menyelesaikan persoalan masalah ini secara cepat, efektif dan efisien sangat dibutuhkan. Ada banyak macam cara dalam menyelesaikan masalah ini, yaitu dengan :

• Aturan Cramer
• Metode Invers Matriks
• Eliminasi Gauss
• Eliminasi Gauss Jordan

mengunakan cara obe

Nilai dan vektor eigen

Perhatikan gambar di bawah ini:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika suatu matriks bujur sangkar, dikali dengan sebuah vektor bukan nol, diatur sedimikian rupa sehingga hasilnya sama dengan perkalian sebuah bilangan skalar dengan vektor tak nol itu sendiri, inilah yang dinamakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen.

Berikut adalah 2 contoh soal bagaimana menentukan nilai dan vektor Eigen suatu matriks:

1.Penyelesaian:

2.Penyelesaian:

1. 
   

Program Linier

Pengertian Program Linear

Program linear yaitu pemecahan masalah untuk menentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi linear yang dibatasi oleh grafik linear dengan memperhatikan syarat-syarat yang berlaku. Penggunaan program linear pada kehidupan sehari-hari misalkan memaksimalkan keuntungan suatu perusahaan. Contoh lainnya yaitu meminimalkan pengeluaran suatu perusahaan.

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu gabungan dari beberapa pertidaksamaan linear yang variabelnya saling berkaitan. Adapun bentuk umum dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel yaitu ax + by < c untuk tanda dapat berupa <, >, ≤, ≥. Biasanya variabel yang digunakan dalam pertidaksamaan yaitu x dan y.

Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linier

Dalam menyelesaikan pada sistem pertidaksamaan linear dua variabel maka dapat diselesaikan dengan cara menentukan daerah penyelesainnya. Daerah penyelesaian yang akan digambar merupakan daerah himpunan yang merupakan titik (x, y) yang merupakan anggota himpunan penyelesaiannya. Untuk lebih jelasnya langsung dengan contoh soal, simak penjelasannya dibawah ini.

Contoh :

Diketahui sistem pertidaksamaan berikut

x + 2y ≤ 10
x ≥ 0,
y ≥ 0

Jawab :

Langkah pertama buat persamaan x + 2y = 10

Buatlah dengan dua titik bantu

Misalkan x = 0, untuk x + 2y =10 maka 2y = 10 dan y = 5

Misalkan y = 0 , untuk x + 2y = 10 maka x = 10

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

x + 2y ≤ 10 , maka 0 + 2(0) ≤ 10

Maka berdasarkan pengujian diatas, daerah yang memuat (0, 0) merupakan daerah penyelesaian pada sistem pertidaksamaan tersebut. Sehingga daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan linear variabel diatas digambarkan seperti gambar disamping.

Nilai Optimum

Untuk menentukan nilai optimum maka kita harus menentukan terlebih dahulu daerah penyelesaian pertidaksamaan linear, dengan begitu untuk mencari nilai optimum dapat menjadi lebih mudah. Langkah-langkah yang harus dikerjakan ketika menentukan nilai optimum diantaranya sebagai berikut :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear
2. Tentukan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan yang ditanyakan
3. Tentukan titik-titik pojok daru daerah penyelesaian yang telah ditemukan
4. Setelah mengerjakan ketiga langkah itu, tentukan nilai optimum dari daerah penyelesaian tersebut lalu bandingkan hasil subtitusi titik-titik pojok dengan fungsi yang ditentukan dengan model matika

Perhatikan contoh soal cerita dibawah ini untuk lebih mempermudah

Contoh :

Toko bahagia menjual peralatan alat tulis, harga sebuah buku Rp.5.000 dan sebuah puplen Rp.2.500. Pemilik toko tersebut mempunyai modal 250.000 dan toko tersebut hanya mampu menampung hingga 50 buah. Tentukan model matematika untuk mendapatkan keuntungan jika laba dari 1 buah buku 1.000 dan dari pulpen 500?

Jawab :

1. Tentukan kendala dari permasalahan program linear tersebut

Misalkan buku = x dan pulpen = y, maka

Fungsi Kendala

5000x + 2500y  ≤ 250000

2x + y  ≤ 100

x + y  ≤ 50

Fungsi Objektif

1000x + 500y

2. Tentukan daerah penyelesaian

Untuk menentukan daerah penyelesaian dapat ditentukan sama seperti pembahasan diatas

Ubah menjadi bentuk persamaan 2x + y = 100 ; x + y = 50

Buatlah dengan dua titik bantu

2x + y = 100

Misalkan x = 0, untuk 2x + y = 100 maka y = 100

Misalkan y = 0 , untuk 2x + y = 100 maka 2x = 100 dan x = 50

maka (x, y) yaitu (0, 100) (50, 0)

x + y = 50

maka (x, y) yaitu (0, 50) (50, 0)

Setelah itu gambarlah daerah penyelesaian pertidaksamaannya.

Untuk mengetahui daerah penyelesaiannya uji dengan titik (0, 0)

3. Tentukan titik-titik pojok

Titik D dapat dicari dengan mengeliminasi dari persamaan 2x + y = 100 dan x + y = 50

2x + y = 100

x + y = 50

Maka (2x + y = 100) – (x + y) =50

ditemukan

x = 50

y = 0

D ( 50, 0)

4. Tentukan nilai optimum

Untuk menentukan nilai optimum, maka masukkan titik pokok A, B, C, D lalu substitusikan

Titik A (0, 0 ) = 1000x + 500y maka 1000(0) + 500(0) = 0

Titik B(150, 0) = 1000x + 500y maka 1000(150) + 500(0) = 150000

Titik C (0, 50) = 1000x + 500y maka 1000(0) + 500(50) = 25000

Titik D (50, 0) = 1000x + 500y maka 1000(50) + 500(0) = 50000

Maka ditemukan nilai optimum untuk soal diatas yaitu pada titik B (150, 0 ) dengan keuntungan Rp.150.000.

Untuk memperoleh keuntungan yang maksimal maka harus menjual 150 buku dan 0 pulpen.

Sekian pembahasan mengenai pertidaksamaan linear ini. Semoga dengan adanya soal dan pembahasan akan membuat kamu menjadi semakin mengerti. Semangat dan sukses selalu. (Baca juga : Relasi dan Fungsi )